Wzorcowy wykładniczo ważony ruch średni model

Zbadanie średniej ruchomej średniej zmienności jest najczęstszym miernikiem ryzyka, ale ma kilka smaków. W poprzednim artykule pokazaliśmy, jak obliczyć prostą zmienność historyczną. Wykorzystaliśmy dane o kursach akcji Google do obliczania dziennej niestabilności w oparciu o 30 dni danych o zapasach. W tym artykule poprawimy prostą lotność i omówimy ważną średnią ruchową (EWMA). Historyczne Vs. Imponująca zmienność Najpierw należy umieścić ten wskaźnik w perspektywie. Istnieją dwa szerokie podejścia: domniemana i domniemana (lub ukryta) zmienność. Podejście historyczne zakłada, że ​​przeszłość jest prologiem mierzymy historię w nadziei, że jest ona przewidywalna. Z drugiej strony ignoruje historię, którą rozwiązuje za niestabilność, którą sugerują ceny rynkowe. Ma nadzieję, że rynek wie najlepiej i że cena rynkowa zawiera, nawet jeśli w sposób dorozumiany, konsensusową ocenę niestabilności. Jeśli chodzi o trzy historyczne podejścia (po lewej stronie powyżej), mają one dwa wspólne kroki: Oblicz cykl okresowych zwrotów Zastosuj schemat ważenia Po pierwsze, my, obliczyć okresowy powrót. To zazwyczaj szereg codziennych zwrotów, gdzie każdy powrót jest wyrażany w stale złożonych terminach. Dla każdego dnia przyjmujemy naturalny dziennik stosunku cen akcji (tzn. Dzisiejszej ceny podzielonej przez cenę w cenach, itd.). Powoduje to szereg codziennych zwrotów, od ui do u i-m. w zależności od tego ile dni (m dni) mierzymy. To prowadzi nas do drugiego kroku: tam są trzy różne podejścia. W poprzednim artykule (Wykorzystanie zmienności w celu oceny przyszłego ryzyka) wykazaliśmy, że w ramach kilku akceptowalnych uproszczeń prosta wariacja jest średnią kwadratowych zwrotów: Zwróć uwagę, że suma każdego z okresowych zwrotów, a następnie dzieli się na sumę liczba dni lub obserwacji (m). Więc, to naprawdę średnia wielkość kwadratowych zwrotów okresowych. Innymi słowy, każda kwadratowa powrót ma taką samą wagę. Jeśli więc alfa (a) jest czynnikiem ważącym (konkretnie 1m), wówczas prosta wariacja wygląda tak: EWMA poprawia się na prostej odmianie. Słabością tego podejścia jest to, że wszystkie zyski mają taką samą wagę. Wczorajsze (ostatnie) powroty nie mają większego wpływu na wariancję niż w zeszłym miesiącu. Problem ten jest ustalony przy użyciu średniej ruchomej (EWMA), w której większe odchylenia mają większy wpływ na wariancję. Średnia geometryczna (EWMA) wprowadza lambda. nazywanym parametrem wygładzania. Lambda musi być mniejsza niż jeden. W tym wariancie, zamiast równej wagi, każdy zwrócony kwadrat jest ważony przez mnożnik w następujący sposób: Na przykład firma RiskMetrics TM, firma zajmująca się zarządzaniem ryzykiem finansowym, zazwyczaj używa lambda w wysokości 0,94 lub 94. W tym przypadku pierwszy ( ostatni kwadratowy zwrotu jest po prostu lambda-wielokrotnością poprzedniej wagi w tym przypadku 6 pomnożonej przez 94 5,64. W trzecim przedziale czasowym wagi są równe (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Wyraża znaczenie wykładnicze w EWMA: każda masa jest stałym mnożnikiem (tj. Lambda, która musi być mniejsza niż jeden) masy poprzednich dni. Zapewnia to odmianę ważoną lub tendencyjną wobec najnowszych danych. (Aby dowiedzieć się więcej, przejrzyj arkusz programu Excel w celu zapewnienia płynności w programie Google). Różnica między po prostu zmiennością a EWMA dla Google jest pokazana poniżej. Prosta zmienność skutecznie waży każdego i każdego okresu powrotu o 0.196, jak pokazano w kolumnie O (mieliśmy dwa lata dziennych danych o cenach akcji, czyli 509 dziennych zwrotów i 1509 0.196). Ale zauważ, że kolumna P przypisuje wagę 6, potem 5,64, potem 5,3 itd. To jedyna różnica między prostą odchyleniem a EWMA. Pamiętaj: Po sumie całej serii (w kolumnie Q) mamy wariancję, która jest kwadratem odchylenia standardowego. Jeśli chcemy zmienności, musimy pamiętać o podstawie kwadratowej tej odmienności. Jaka jest różnica dziennej zmienności pomiędzy wariancją a EWMA w przypadku firmy Google: Istotna: prosta wariacja dała nam dzienną zmienność na poziomie 2,4, ale EWMA dała dzienną zmienność tylko 1,4 (szczegóły są dostępne w arkuszu kalkulacyjnym). Widocznie, zmienność języka Google sięgnęła ostatnio, dlatego prosta wariacja może być sztucznie wysoka. Dzisiejsza wariacja jest funkcją wariantów dni Piora Zauważmy, że musimy obliczyć długi szereg wykładniczo malejących ciężarów. Nie będziemy tu robić matrycy, ale jedna z najlepszych cech EWMA polega na tym, że cała seria wygodnie się zmniejsza do formuły rekurencyjnej: Rekursywne oznacza, że ​​dzisiejsze odchylenia od wariancji (tj. Jest funkcją wariancji poprzednich dni). Taką formułę można znaleźć również w arkuszu kalkulacyjnym i daje dokładnie taki sam wynik, jak obliczenia długoterminowe. Mówi się: wariancja Dzisiejsza (pod EWMA) jest równa wariancji wczorajszej (ważyła lambda) plus wczorajsze kwadranse zwrócone (ważyło się o jedną minus lambda). Zauważmy, jak po prostu dodajemy dwa terminy: wczorajsza ważona wariacja i wczoraj ważone, kwadratowe powrót. Mimo to, lambda jest naszym parametrem wygładzania. Wyższa lambda (np. RiskMetrics 94) wskazuje na wolniejsze zanikanie w serii - w kategoriach względnych, będziemy mieli więcej punktów danych w serii i będą padać wolniej. Z drugiej strony, jeśli zmniejszymy lambda, wskazujemy wyższy zanik: masy spadają szybciej i, w bezpośrednim wyniku szybkiego zaniku, wykorzystuje się mniej punktów danych. (W arkuszu kalkulacyjnym lambda jest wejściem, więc możesz eksperymentować z jego wrażliwością). Podsumowanie Zmienność to chwilowe odchylenie standardowe dla zapasów i najczęstszych miar ryzyka. Jest to również pierwiastek kwadratowy wariancji. Możemy zmierzyć wariancję historycznie lub domyślnie (domniemana zmienność). Podczas pomiaru historycznego najprostszą metodą jest prosta odmiana. Ale słabość z prostą odmianą jest taka, że ​​wszystkie zwroty mają taką samą wagę. Więc mamy do czynienia z klasycznym kompromisem: zawsze chcemy więcej danych, ale im więcej danych, tym bardziej nasze obliczenia są rozmyte danymi odległymi (mniej istotnymi). Średnia średnica ruchoma (EWMA) zwiększa się w prostej wariancie, przypisując wagi okresowym zwrotom. Dzięki temu możemy zarówno użyć dużego rozmiaru próbki, jak i większej wagi do najnowszych wyników. (Aby wyświetlić samouczek filmowy na ten temat, odwiedź Turion Bionic). Pierwsza oferta na aktywa należące do bankrutującego przedsiębiorstwa od zainteresowanego nabywcy wybranego przez bankructwo. Z puli oferentów. Artykuł 50 stanowi klauzulę negocjacyjno-rozliczeniową zawartą w traktacie UE, w którym przedstawiono kroki, które należy podjąć dla każdego kraju, który. Beta jest miarą zmienności lub systematycznego ryzyka bezpieczeństwa lub portfela w porównaniu z rynkiem jako całości. Rodzaj podatku od zysków kapitałowych poniesionych przez osoby prywatne i korporacje. Zyski kapitałowe to zyski inwestora. Zamówienie zakupu zabezpieczenia z lub poniżej określonej ceny. Zlecenie z limitem kupna umożliwia określenie podmiotów gospodarczych i inwestorów. Reguła Internal Revenue Service (IRS), która umożliwia wycofanie bez kary z konta IRA. Reguła wymaga tego. Podejście EWMA ma jedną atrakcyjną cechę: wymaga stosunkowo niewielkich zapisanych danych. Aby zaktualizować nasze oszacowania w dowolnym momencie, potrzebujemy tylko wstępnego oszacowania współczynnika wariancji i najnowszej wartości obserwacji. Drugim celem EWMA jest śledzenie zmian w zmienności. W przypadku małych wartości najnowsze obserwacje mają wpływ na szybką ocenę. W przypadku wartości zbliżonych do jednej, szacunek zmienia się powoli w oparciu o ostatnie zmiany w zakresie zwracania zmiennej bazowej. Baza danych RiskMetrics (wyprodukowana przez JP Morgan i dostępna publicznie) wykorzystuje EWMA do aktualizacji codziennej zmienności. WAŻNE: Formuła EWMA nie zakłada długiego przeciętnego poziomu wariancji. Tak więc koncepcja zmienności oznacza odwrócenie nie zostaje uchwycona przez EWMA. W tym celu lepiej dostosować modele ARCHGARCH. Drugim celem EWMA jest śledzenie zmian w zmienności, a więc w przypadku małych wartości, niedawna obserwacja wpływa na szybką ocenę, a dla wartości zbliżonych do jednego, szacunkowa zmiana powoli do ostatnich zmian zwrotu zmiennej bazowej. Baza danych RiskMetrics (wyprodukowana przez JP Morgan) i udostępniana publicznie w 1994 r. Wykorzystuje model EWMA do aktualizacji dziennej oceny zmienności. Firma stwierdziła, że ​​w wielu zmiennych rynkowych wartość ta daje prognozę wariancji, która jest najbardziej zbliżona do zrealizowanej różnicy. Ustalone stawki wariancji w danym dniu obliczono jako średnią ważoną w kolejnych 25 dniach. Podobnie, aby obliczyć optymalną wartość lambda dla naszego zestawu danych, musimy obliczyć zrealizowaną zmienność w każdym punkcie. Istnieje kilka metod, więc wybierz jeden. Następnie obliczyć sumę kwadratowych błędów (SSE) pomiędzy szacunkiem EWMA a zrealizowaną zmiennością. Na koniec zminimalizuj SSE, zmieniając wartość lambda. Brzmi to proste. Największym wyzwaniem jest uzgodnienie algorytmu obliczania zrealizowanej zmienności. Na przykład ludzie z firmy RiskMetrics wybrali kolejny 25-dniowy obliczony współczynnik wariancji. W Twoim przypadku można wybrać algorytm, który wykorzystuje ceny dzienne, cena HILO i lub OPEN-CLOSE. Pytanie 1: Czy możemy używać EWMA do oszacowania (lub prognozy) zmienności więcej niż jeden krok? Przedstawicielstwo EWMA w zmienności nie zakłada długoterminowej zmienności średniej, a zatem w przypadku każdego prognozowanego horyzontu ponad jednokrotny EWMA zwraca stałą wartość: GARCH i EWMA 21 maja 2017 r. przez David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: Porównaj, kontrast i oblicz parametryczne i nieparametryczne podejście do szacowania zmienności warunkowej 8230 W tym: PODEJŚCIE GARCH Z uwzględnieniem: WYDAJNOŚĆ WYKONAWCZA (EWMA) Wyrównanie wykładnicze parametryczny) Nowoczesne metody przynoszą większą wagę do najnowszych informacji. Zarówno EWMA, jak i GARCH wiążą się z ostatnimi informacjami. Ponadto, ponieważ EWMA jest szczególnym przypadkiem GARCH, zarówno EWMA, jak i GARCH wykorzystują wyrównywanie wykładnicze. GARCH (p, q), a zwłaszcza GARCH (1, 1) GARCH (p, q) jest ogólnym, autoregresywnym warunkowym modelem heteroskedastycznym. Kluczowe aspekty obejmują: Autoregresywne (AR). wariancja tomorrow8217s (lub zmienność) jest regresywną funkcją today8217s variance8212it rejestruje na siebie warunkowe (C). jana8217s wariancja depends8212 jest uzależniona od ostatniego wariancji. Warunek bezwarunkowy nie byłby uzależniony od wariancji Heteroskedastic (H) z dnia dzisiejszego8217. wariancje nie są stałe, przepływają przez czas GARCH ustępuje 8220lagged8221 lub historycznych. Obowiązującymi warunkami są wariacje lub kwadratowe zwroty. Generatywny model GARCH (p, q) rejestruje się na zwrocie kwadratowym (p) i (q). Zatem GARCH (1, 1) 8220lags8221 lub wycofuje się z poprzedniego okresu 8217s (tj. Tylko 1 zwraca) i zeszłorocznej wariancji8217s (tj. Tylko 1 wariancja). GARCH (1, 1) podane przez następujące równanie. Ta sama formuła GARCH (1, 1) może być podana z parametrami greckimi: Hull pisze takie same równanie GARCH jak: Pierwszy termin (gVL) jest ważny, ponieważ VL jest średnią długookresową wariancją. Dlatego (gVL) jest produktem: jest ważoną średnią wariancją długoterminową. Model GARCH (1, 1) rozwiązuje wariancję wariancji w funkcji trzech zmiennych (poprzednia wariacja, poprzednia return2 i wariacja długoterminowa): Trwałość to funkcja osadzona w modelu GARCH. Wskazówka: w powyższych wzorach trwałość to (b c) lub (alfa-1 beta). Trwałość odnosi się do szybkości powrotu (lub powolności) wariancji do 8220 lub do 82221 w kierunku średniej długości. Wysoka uporczywość oznacza powolne rozpadanie się i powolne wyrównanie 8220 w kierunku średniej 8221 niskiej uporczywej równowagi do szybkiego zaniku i szybkiej 8220 rewersji do średniej.8221 Występowanie 1,0 nie oznacza średniego odwrócenia. Występowanie mniej niż 1,0 oznacza 8220 odwrotność do średniej, 8221, gdzie niższa trwałość pociąga za sobą większe odchylenie do średniej. Wskazówka: Jak wyżej, suma wag przypisana do opóźnionej wariancji i opóźnionego zwrotu z reguły jest wytrwałością (wytrwałość bc). Wysoka trwałość (większa od zera, ale mniej niż jedna) implikuje powolne odwrócenie się do średniej. Ale jeśli odważniki przypisane do opóźnionej wariancji i opóźnienia do kwadratu są większe niż jeden, model jest niestacjonarny. Jeśli (bc) jest większa niż 1 (jeśli bc gt 1) model jest niestacjonarny, a według Hull niestabilny. W takim przypadku preferowana jest EWMA. Linda Allen mówi o GARCH (1, 1): GARCH jest zarówno 8220compact8221 (tzn. Stosunkowo prosty) i niezwykle dokładny. Modele GARCH przeważają w badaniach naukowych. Próbowano wiele odmian modelu GARCH, ale kilka poprawiło się na oryginale. Wadą modelu GARCH jest jego nieliniowość Przykład: Rozwiązanie wariancji długoterminowej w GARCH (1,1) Rozważmy równanie GARCH (1, 1) poniżej: Załóżmy, że: parametr alfa 0.2, parametr beta 0.7, i zauważ, że omega to 0,2, ale don8217t pomyłka omega (0,2) dla długoterminowej wariancji Omega jest produktem gamma i długoterminowej wariancji. Tak więc, jeśli alpha beta 0.9, to gamma musi wynosić 0,1. Biorąc pod uwagę, że omega wynosi 0,2, wiemy, że wariacja długoterminowa musi wynosić 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): Jedyna różnica notacji pomiędzy Hull i Allen EWMA jest szczególnym przypadkiem GARCH (1,1) a GARCH (1,1) jest ogólnym przypadkiem EWMA. Najważniejszą różnicą jest to, że GARCH zawiera dodatkowy termin dla średniej rewersji, a EWMA brakuje średniej rewersji. Oto jak dostajemy od GARCH (1,1) do EWMA: Pozwólmy 0 i (bc) 1, tak że powyższe równanie upraszcza do: Jest to obecnie równoważne wzorowi dla średniej ruchomej wykładniczej (EWMA): W EWMA parametr lambda określa teraz 8220: 8221 lambda zbliżona do jednej (wysoka lambda) wykazuje powolne rozpad. RiskMetrics RiskMetricsTM Approach jest markową formą podejścia opartego na wykładniczo ważonej średniej ruchomej (EWMA): optymalna (teoretyczna) lambda różni się w zależności od klasy aktywów, ale całkowity optymalny parametr używany przez RiskMetrics wynosi 0,94. W praktyce RiskMetrics wykorzystuje tylko jeden współczynnik zaniku dla wszystkich serii: 183 0,94 dla danych dziennych 183 0,97 dla danych miesięcznych (miesiąc określony jako 25 dni handlowych) Technicznie, modele dzienne i miesięczne są niespójne. Są jednak łatwe w obsłudze, przybliżają zachowanie rzeczywistych danych i są solidne do określenia błędów. Uwaga: GARCH (1, 1), EWMA i RiskMetrics są parametryczne i rekurencyjne. Zalety i wady rekursywne EWMA i wady MA (tj. STDEV) vs GARCH Graficzne podsumowanie metod parametrycznych, które przypisują większą wagę do ostatnich zwrotów (GARCH amp EWMA) Podsumowanie porad: GARCH (1, 1) jest uogólnieniem RiskMetrics, a odwrotnie, RiskMetrics ograniczony przypadek GARCH (1,1), gdzie 0 i (bc) 1. GARCH (1, 1) podaje się przez: Trzy parametry to wagi, a zatem suma do jednej: Wskazówka: Uważaj na pierwszą kadencję w GARCH (1, 1) równanie: omega () gamma () (średnia długookresowa wariacja). Jeśli zostanie poproszony o wariancję, może być konieczne podzielenie ciężaru w celu obliczenia średniej wariancji. Określ, kiedy i czy w oszacowaniu zmienności należy zastosować model GARCH lub EWMA W praktyce współczynniki wariancji wydają się średnio odwracać, model GARCH (1, 1) jest teoretycznie lepszy (8220 bardziej atrakcyjny niż 8221) do modelu EWMA. Pamiętaj, że ta różnica jest duża: GARCH dodaje parametr, który odważa średnią długookresową, a zatem zawiera średnie odwrócenie. Wskazówka: preferowany jest GARCH (1, 1), chyba że pierwszy parametr jest ujemny (co sugeruje, jeśli alfa-beta 1). W tym przypadku GARCH (1,1) jest niestabilny i preferowana jest EWMA. Wyjaśnij, jak szacunki GARCH mogą dostarczyć prognoz dokładniejszych. Średnia ruchoma oblicza wariancję w oparciu o obserwujące się okno obserwacji np. poprzednie dziesięć dni, poprzednie 100 dni. Istnieją dwa problemy z przeciętną średnią (MA): Funkcja optyma - lizowania: gwałtowne wstrząsy (gwałtowne wzrosty) są nagle włączane do metryki MA, a następnie, gdy okno końcowe przechodzi, gwałtownie spadają z obliczeń. W związku z tym metryka MA będzie się zmieniać w stosunku do wybranej długości okna Informacje o trendach nie są uwzględniane Szacunki GARCH poprawiają te słabości na dwa sposoby: Większe wagi mają nowe uwagi. Przezwycięga to złudzenie, ponieważ szok zmienności natychmiast wpłynie na oszacowanie, ale jego wpływ stopniowo zanika w miarę upływu czasu. Dodano termin dodania rewersji do średniej. Wyjaśnij, jak wytrwałość jest związana z przejściem na średnią. Biorąc pod uwagę równanie GARCH (1, 1): Trwałość jest wyrażona przez: GARCH (1, 1) jest niestabilny, jeśli trwałość gt 1. Wytrwałość 1.0 oznacza brak średniego odwrócenia. Niska trwałość (na przykład 0.6) wskazuje na szybki zanik i wysoki poziom do średniej. Wskazówka: GARCH (1, 1) ma trzy wagi przypisane trzem czynnikom. Trwałość jest sumą wag przypisanych zarówno do opóźnionej wariancji, jak i do powrotu z opóźnieniem. Drugą wagę przypisuje się wariancji długoterminowej. Jeśli trwałość P i ciężar G przypisano do wariancji długoterminowej, a następnie PG 1. W związku z tym, jeśli P (trwałość) jest wysoka, to G (średnia rewersja) jest niska: trwała seria nie jest zdecydowanie odwracająca, wykazuje 8220-letni zanik 8221 w kierunku oznaczać. Jeśli P jest mała, to G musi być wysoka: impersentna seria zdecydowanie oznacza odwrócenie jej eksponat 8220rapid decay8221 w kierunku średniej. Średnia, bezwarunkowa odchylność modelu GARCH (1, 1) przedstawia się następująco: Wyjaśnij, jak systematycznie rabuje starsze dane EWMA i identyfikuje czynniki zaniku dziennego i miesięcznego RiskMetrics174. Średnia ważona średnią ruchoma (EWMA) jest wyrażona przez: Powyższy wzór stanowi rekursywne uproszczenie serii EWMA 8220true8221, które podaje się: W seriach EWMA każda masa przypisana do kwadratowych wartości zwrotu jest stałą proporcją poprzedniej wagi. W szczególności, lambda (l) jest stosunkiem pomiędzy sąsiednimi ciężarami. W ten sposób starsze dane są systematycznie dyskontowane. Systematyczny rabat może być stopniowy (powolny) lub nagły, w zależności od lambda. Jeśli lambda jest wysoka (np. 0,99), wówczas dyskontowanie jest bardzo powolne. Jeśli lambda jest niska (na przykład 0,7), dyskontowanie jest bardziej nagłe. Czynniki zuycia RiskMetrics TM: 0.94 dla danych dziennych 0.97 dla danych miesięcznych (miesiąc zdefiniowany jako 25 dni handlowych) Wyjaśnij, dlaczego korelacje prognozowania mogą być ważniejsze niż prognozowanie zmienności. Przy mierzeniu ryzyka portfela korelacje mogą być ważniejsze niż indywidualna zmienność wariancji. Dlatego w odniesieniu do ryzyka portfela prognoza korelacji może być ważniejsza niż indywidualne prognozy zmienności. Użyj GARCH (1, 1) w celu prognozowania zmienności oczekiwanej przyszłej różnicy w przedziałach t (t) podaje się następująco: Na przykład załóżmy, że bieżące oszacowanie zmienności (okres n) jest podane przez następujące GARCH (1, 1 ): W tym przykładzie alpha to masa (0.1) przypisana do poprzedniego kwadratu (poprzednia wartość to 4), beta oznacza wagę (0.7) przypisaną do poprzedniej wariancji (0.0016). Jaka jest oczekiwana zmienność w przyszłości, w ciągu dziesięciu dni (n 10) Najpierw rozwiązać problem długoterminowej wariancji. Nie jest to 0.00008 termin ten jest wynikiem wariancji i jego wagi. Ponieważ masa musi wynosić 0,2 (1 - 0,1-0,7), wariancję długoterminową 0,0004. Po drugie potrzebujemy aktualnej wariancji (okres n). To nam niemal nadano: teraz możemy zastosować formułę do rozwiązania dla oczekiwanej przyszłej różnicy: jest to oczekiwana zmienność, więc oczekiwana zmienność wynosi około 2,24. Zauważ, jak to działa: aktualna zmienność wynosi około 3,69, a długoterminowa zmienność wynosi 2. 10-dniowa projekcja projekcji 8220fades8221 jest aktualną stopą zbliżoną do długoterminowej. Prognoza lotności nieparametrycznejPowtórzenie średnich i wykładniczych modeli wygładzania Jako pierwszy krok w wychodzeniu poza średnie modele, modele swobodnego spaceru i modele trendów liniowych, nieuzasadnione wzorce i trendy mogą być ekstrapolowane przy użyciu modelu poruszającego się średnio lub wygładzającego. Podstawowym założeniem za modelami uśredniania i wygładzania jest to, że szereg czasowy jest lokalnie stacjonarny, a powoli zmienia się średnio. W związku z tym bierzemy ruchomą (lokalną) średnią w celu oszacowania bieżącej wartości średniej, a następnie użyć jej jako prognozy na najbliższą przyszłość. Można to uznać za kompromis między średnim modelem a modelem losowego chodzenia bez dryfu. Ta sama strategia może być wykorzystana do oszacowania i ekstrapolacji lokalnego trendu. Średnia ruchoma jest często określana jako quotsmoothedquot wersja pierwotnej serii, ponieważ uśrednianie krótkotrwałe ma efekt wygładzania uderzeń w oryginalnej serii. Dostosowując stopień wygładzania (szerokość średniej ruchomej), możemy mieć nadzieję, że osiągniemy pewien rodzaj optymalnej równowagi między osiągnięciem modelu średniej i losowej. Najprostszym modelem uśredniania jest. Prosta (równoważona wagą) Średnia ruchoma: Prognoza dla wartości Y w czasie t1, która jest wykonana w czasie t równa się zwykłej średniej z ostatnich obserwacji m: (Tutaj i gdzie indziej będę używać symbolu 8220Y-hat8221 dla prognozowania serii czasowej Y dokonanej najwcześniej w poprzednim terminie przez dany model). Ta średnia jest wyśrodkowana w okresie t - (m1) 2, co oznacza, że ​​oszacowanie lokalnej średniej będzie miało tendencję do opóźnienia w stosunku do prawdziwych wartość lokalnej średniej o około (m1) 2 okresów. Tak więc mówimy, że średni wiek danych w prostej średniej ruchomej wynosi (m1) 2 w stosunku do okresu, na który obliczana jest prognoza: jest to ilość czasu, w jakim prognozy będą się spóźniały za punktami zwrotnymi w danych . Na przykład, jeśli uśrednimy ostatnie 5 wartości, prognozy będą wynosić około 3 okresy późne w odpowiedzi na punkty zwrotne. Zauważ, że jeśli m1, model prostego ruchu średniego (SMA) odpowiada modelowi losowego chodzenia (bez wzrostu). Jeśli m jest bardzo duża (porównywalna z długością okresu szacowania), model SMA jest równoważny średniemu modelowi. Podobnie jak w przypadku dowolnego parametru modelu prognozowania, zwykle dostosowywana jest wartość k w celu uzyskania najlepszej jakości danych, tzn. Najmniejszych średnich błędów prognozy. Oto przykład serii, która wydaje się wykazywać losowe fluktuacje wokół średniej wolno zmieniającej. Po pierwsze, spróbuj dopasować go do modelu przypadkowego spaceru, co odpowiada prostej średniej ruchomej z jednej kadencji: model losowego spaceru reaguje bardzo szybko na zmiany w serii, ale w ten sposób robi to znacznie pobudzając kwintesencję dane (losowe fluktuacje), jak również kwotsignalquot (lokalna średnia). Jeśli weźmiemy pod uwagę prostą średnią ruchomą wynoszącą 5 terminów, otrzymamy gładszy zestaw prognoz: 5-letnia prosta średnia ruchoma daje w tym przypadku znacznie mniejsze błędy niż model losowego chodu. Przeciętny wiek danych w tej prognozie wynosi 3 ((51) 2), co oznacza, że ​​ma tendencję do pozostawania za punktami zwrotnymi przez około trzy okresy. (Na przykład spadek koniunktury wydaje się występować w okresie 21, ale prognozy nie odwracają się do kilku okresów później). Zauważ, że długoterminowe prognozy modelu SMA to poziome linie proste, podobnie jak w przypadku losowego spaceru Model. Tak więc, model SMA zakłada, że ​​nie ma tendencji w danych. Jednakże, mając na uwadze, że prognozy z modelu losowego spaceru są po prostu równoważne ostatniej obserwowanej wartości, prognozy z modelu SMA są równe średniej ważonej ostatnich wartości. Ograniczenia ufności obliczone przez Statgraphics w odniesieniu do długoterminowych prognoz dotyczących prostej średniej ruchomej nie są szersze, gdy horyzont prognoz wzrasta. To oczywiście nie jest poprawne Niestety, nie ma podstawowej teorii statystycznej, która mówi nam, jak przedziały ufności powinny poszerzać się w tym modelu. Nie jest jednak zbyt trudno obliczyć empirycznych szacunków dopuszczalnych granic dla prognoz długoterminowych. Na przykład można utworzyć arkusz kalkulacyjny, w którym model SMA byłby wykorzystywany do prognozowania 2 kroków naprzód, 3 kroków naprzód itp. W ramach historycznej próbki danych. Następnie można obliczyć próbkowe odchylenia standardowe błędów w każdym horyzoncie prognozy, a następnie skonstruować interwały zaufania dla prognoz długoterminowych przez dodawanie i odejmowanie wielokrotności odpowiedniego odchylenia standardowego. Jeśli będziemy próbować 9-letniej prostej średniej ruchomej, otrzymamy jeszcze gładsze prognozy i bardziej opóźniamy: średni wiek wynosi teraz 5 okresów ((91) 2). Jeśli weźmiemy 19-letnią średnią ruchliwą, średni wiek wzrośnie do 10: Zauważ, że prognozy są już za punktami zwrotnymi o około 10 okresów. Która suma wygładzania jest najlepsza dla tej serii Poniżej znajduje się tabela porównująca ich statystykę błędów, w tym również średnia 3-letnia: Model C, 5-letnia średnia ruchoma, daje najniższą wartość RMSE przez mały margines w ciągu 3 średnie i średnie 9-dniowe oraz inne statystyki są niemal identyczne. Wśród modeli o bardzo podobnych statystykach błędów możemy wybrać, czy wolelibyśmy nieco lepiej reagować lub trochę bardziej sprawnie. (Powtórz początek strony). Browns Simple Exponential Smoothing (średnia wykładana ważona średnią ruchoma) Opisany wyżej prosty model średniej średniej ma niepożądaną właściwość, która traktuje ostatnie obserwacje równomiernie i całkowicie ignoruje wszystkie poprzednie obserwacje. Intuicyjnie dane z przeszłości powinny być dyskontowane w sposób bardziej stopniowy - na przykład ostatnie obserwacje powinny mieć nieco więcej niż druga ostatnia, a druga ostatnia powinna być nieco większa niż ostatnia z trzech, a wkrótce. Dokonuje tego prostokątny wygładzający (SES). Niech 945 oznacza stałą kwotową konsystencji (liczba między 0 a 1). Jednym ze sposobów zapisania modelu jest zdefiniowanie serii L, która reprezentuje aktualny poziom (tzn. Średnia wartość lokalna) szeregu szacowana na podstawie danych do dnia dzisiejszego. Wartość L w czasie t obliczana jest rekurencyjnie z własnej poprzedniej wartości: W ten sposób bieżąca wygładzona wartość jest interpolacją pomiędzy poprzednią wygładzoną wartością a bieżącą obserwacją, gdzie 945 kontroluje bliskość interpolowanej wartości do najnowszej obserwacja. Prognoza na następny okres jest po prostu aktualną wygładzoną wartością: równoważnie możemy wyrazić następną prognozę bezpośrednio w odniesieniu do poprzednich prognoz i wcześniejszych obserwacji w dowolnej z następujących równoważnych wersji. W pierwszej wersji prognoza jest interpolacją między poprzednią prognozą a poprzednią obserwacją: w drugiej wersji następna prognoza uzyskuje się przez dostosowanie poprzedniej prognozy w kierunku poprzedniego błędu w ułamkowej wartości 945. jest błędem dokonanym w czas t. W trzecim projekcie prognoza jest średnią ruchoma ważoną wykładnicą (tzn. Zdyskontowaną) z współczynnikiem dyskontowania 1 - 945: wersja interpolacyjna formuły prognozowania jest najprostszym sposobem użycia, jeśli model implementuje model w arkuszu kalkulacyjnym: jest on dopasowany do pojedynczą komórkę i zawiera odwołania do komórek wskazujące na poprzednią prognozę, wcześniejsze obserwacje oraz komórkę, w której przechowywana jest wartość 945. Zauważ, że jeśli 945 1, model SES jest równoważny modelowi losowego spaceru (bez wzrostu). Jeśli 945 0, model SES jest odpowiednikiem średniego modelu, zakładając, że pierwsza wygładzona wartość jest równa średniej. (Powrót na górę strony.) Przeciętny wiek danych w prognozie wygładzania według wykładników prostych i wykładniczych wynosi 1 945 w stosunku do okresu, w którym obliczana jest prognoza. (Nie powinno to być oczywiste, ale można to łatwo wykazać przez ocenę nieskończonej serii). W związku z tym, prosta średnia ruchoma przebiega za punktami zwrotnymi przez około 1 945 okresów. Na przykład, gdy 945 0,5 opóźnienie to 2 okresy, gdy 945 0,2 opóźnienie wynosi 5 okresów, gdy 945 0,1 opóźnienia wynosi 10 okresów itd. Dla pewnego przeciętnego wieku (czyli ilości opóźnień), prosta prognoza wygładzania wykładniczego (SES) jest nieco lepsza od prognozy SMA (Simple moving average), ponieważ w ostatnim obserwowaniu obserwuje się relatywnie większą wagę. jest nieco bardziej odpowiadający na zmiany zachodzące w niedawnej przeszłości. Na przykład model SMA z 9 terminami i model SES z 945 0.2 mają średni wiek 5 lat dla danych w ich prognozach, ale model SES daje większą wagę w stosunku do ostatnich 3 wartości niż model SMA i na poziomie w tym samym czasie nie robi nic 8220forget8221 o wartościach powyżej 9 okresów, jak pokazano na poniższym wykresie: Inną ważną zaletą modelu SES w modelu SMA jest to, że model SES wykorzystuje parametr wygładzania, który jest ciągle zmienny, dzięki czemu można z łatwością zoptymalizować za pomocą algorytmu quotsolverquot w celu zminimalizowania średniego kwadratu. Optymalna wartość 945 w modelu SES dla tej serii okazała się wynosić 0.2961, jak pokazano poniżej: średni wiek danych w tej prognozie to 10.2961 3.4 okresy, które są podobne do średniej 6-letniej prostej średniej ruchomej. Długoterminowe prognozy z modelu SES są poziomej prostej. jak w modelu SMA i modelu losowego chodzenia bez wzrostu. Należy jednak pamiętać, że przedziały ufności obliczane przez Statgraphics różnią się w rozsądny sposób i że są one znacznie węższe niż przedziały ufności dla modelu losowego chodzenia. Model SES zakłada, że ​​seria jest nieco bardziej przewidywalna niż model losowego chodu. Model SES jest faktycznie szczególnym przypadkiem modelu ARIMA. tak więc statystyczna teoria modeli ARIMA stanowi solidną podstawę do obliczania przedziałów ufności dla modelu SES. W szczególności model SES jest modelem ARIMA z odmienną różniczką, terminem MA (1), a nie terminem stałym. inaczej znany jako model quotARIMA (0,1,1) bez stałej ilości. Współczynnik MA (1) w modelu ARIMA odpowiada ilościowi 1- 945 w modelu SES. Na przykład, jeśli dopasujesz model ARIMA (0,1,1) bez stałej do analizowanej serii, szacowany współczynnik MA (1) okazuje się wynosić 0.7029, czyli prawie dokładnie minus minus 0.2961. Możliwe jest dodanie założenia niezerowej stałej tendencji liniowej do modelu SES. W tym celu wystarczy podać model ARIMA z jedną różniczkową różnicą i terminem MA (1) ze stałą, tj. Model ARIMA (0,1,1) ze stałą. Prognozy długoterminowe będą wtedy miały tendencję, która jest równa średniej tendencji obserwowanej w całym okresie szacunkowym. Nie można tego zrobić w połączeniu z dostosowaniem sezonowym, ponieważ opcje dostosowania sezonowego są wyłączone, gdy typ modelu jest ustawiony na ARIMA. Można jednak dodać stałą długoterminową tendencję wykładniczą do prostego modelu wygładzania wykładniczego (z korektą sezonową lub bez), korzystając z opcji regulacji inflacji w procedurze Prognozowania. Odpowiednia szybkość wzrostu kwotowania (stopa wzrostu procentowego) w danym okresie może być oszacowana jako współczynnik nachylenia w modelu liniowego tendencji dopasowany do danych w połączeniu z naturalną transformacją logarytmiczną lub może opierać się na innych, niezależnych informacjach dotyczących długoterminowych perspektyw wzrostu . (Powrót na początek strony). Browns Linear (tj. Podwójne) Wyrównywanie wykładnicze Modele SMA i modele SES zakładają, że w danych nie ma żadnego trendu (co zwykle jest OK lub przynajmniej nie jest zbyt złe dla 1- prognozy stopniowe, gdy dane są stosunkowo hałaśliwe) i można je zmodyfikować, aby uwzględnić stały trend liniowy, jak pokazano powyżej. Co z trendami krótkoterminowymi Jeśli seria wykazuje zróżnicowaną stopę wzrostu lub cykliczny wzór wyraźnie wyróżniający się w stosunku do hałasu, a jeśli istnieje potrzeba prognozowania więcej niż jednego okresu, szacunek lokalnej tendencji może być również problem. Prosty model wygładzania wykładniczego można uogólnić w celu uzyskania liniowego modelu wygładzania wykładniczego (LES), który oblicza lokalne szacunki zarówno poziomu, jak i tendencji. Najprostszym modelem trendów jest Browns liniowy model wygładzania wykładniczego, który wykorzystuje dwie różne wygładzone serie, które są wyśrodkowane w różnych punktach w czasie. Formuła prognozy opiera się na ekstrapolacji linii przez dwa centra. (Poniżej omówiono bardziej wyrafinowaną wersję tego modelu, Holt8217). Algorytm liniowy linearyzacji Brown8217s, podobny do prostokątnego modelu wygładzania, może być wyrażony w wielu różnych, ale równoważnych formach. Niewątpliwą formą tego modelu jest zwykle wyrażona w następujący sposób: Niech S oznacza pojedynczo wygładzoną serię otrzymaną przez zastosowanie prostego wygładzania wykładniczego do serii Y. Oznacza to, że wartość S w okresie t jest wyrażona przez: (Przypomnijmy, że według prostego wyrównywanie wykładnicze, to byłaby prognoza dla Y w okresie t1). Pozwólmy Squot oznaczać podwójnie wygładzoną serię otrzymaną przez zastosowanie prostego wygładzania wykładniczego (przy użyciu tego samego 945) do serii S: Wreszcie prognoza dla Y tk. dla każdego kgt1, podaje: Otrzymuje e 1 0 (to znaczy trochę oszukiwać, a pierwsza prognoza jest równa faktycznej pierwszej obserwacji) i e 2 Y 2 8211 Y 1. po których generowane są prognozy przy użyciu powyższego wzoru. Daje to takie same wartości, jak wzór na podstawie S i S, jeśli te ostatnie zostały uruchomione przy użyciu S 1 S 1 Y 1. Ta wersja modelu jest używana na następnej stronie, która ilustruje kombinację wygładzania wykładniczego z dostosowaniem sezonowym. Model LES firmy Holt8217s oblicza lokalny szacunek poziomu i trendu, wygładając ostatnie dane, ale fakt, że wykonuje to za pomocą pojedynczego parametru wygładzania, ogranicza wzorce danych, które można dopasować: poziom i trend nie mogą zmieniać się w niezależnych stawkach. Model LES firmy Holt8217s rozwiązuje ten problem przez uwzględnienie dwóch stałych wygładzania, po jednym dla poziomu i jednego dla tego trendu. W dowolnym momencie t, podobnie jak w modelu Brown8217s, szacuje się, że na poziomie lokalnym jest szacunkowa t t lokalnego trendu. Tutaj są one rekurencyjnie obliczane z wartości Y obserwowanej w czasie t oraz poprzednich szacunków poziomu i tendencji przez dwa równania, które nakładają wyrównywanie wykładnicze osobno na nie. Jeśli szacowany poziom i tendencja w czasie t-1 to L t82091 i T t-1. odpowiednio, wówczas prognoza dla Y tshy, która została dokonana w czasie t-1, jest równa L t-1 T t-1. Gdy rzeczywista wartość jest zaobserwowana, zaktualizowany szacunek poziomu jest obliczany rekurencyjnie przez interpolowanie pomiędzy Y tshy a jego prognozą, L t-1 T t-1, przy użyciu odważników 945 i 1 945. Zmiana szacowanego poziomu, mianowicie L t 8209 L t82091. można interpretować jako hałasujący pomiar tendencji w czasie t. Zaktualizowane oszacowanie trendu jest następnie obliczane rekurencyjnie przez interpolowanie pomiędzy L t 8209 L t82091 a poprzednim oszacowaniem tendencji T t-1. przy użyciu odważników 946 i 1-946: Interpretacja stałej 946 wyrównania tendencji jest analogiczna do stałej stymulacji 945. Modele o małych wartościach 946 zakładają, że tendencja zmienia się bardzo powoli w czasie, podczas gdy modele z większy rozmiar 946 zakłada, że ​​zmienia się szybciej. Model z dużą liczbą 946 uważa, że ​​dalsza przyszłość jest bardzo niepewna, ponieważ błędy w oszacowaniu tendencji stają się bardzo ważne, gdy prognozuje się więcej niż jeden rok. (Powrót na początek strony). Stałe wygładzania 945 i 946 można oszacować w zwykły sposób minimalizując średnie kwadratowe błędy prognoz na jeden etap. Gdy to nastąpi w Statgraphics, szacunki wyniosły 945 0,3048 i 946 0,008. Bardzo mała wartość 946 oznacza, że ​​model zakłada bardzo niewielką zmianę tendencji z jednego okresu do następnego, więc w zasadzie ten model próbuje oszacować długoterminowy trend. Przez analogię do pojęcia średniego wieku danych używanych do oszacowania lokalnego poziomu szeregu, średni wiek danych wykorzystywanych do oszacowania tendencji lokalnej jest proporcjonalny do 1 946, chociaż nie jest dokładnie taki sam . W tym przypadku okazuje się, że jest to 10.006 125. Jest to bardzo dokładna liczba, ponieważ dokładność szacowania 946 isn8217t rzeczywiście wynosi 3 miejsca po przecinku, ale ma ten sam ogólny porządek wielkości co rozmiar próbki 100, więc ten model uśrednia wiele historii w szacowaniu tendencji. Poniższa wykres prognozuje, że model LES szacuje nieco większą tendencję lokalną na końcu serii niż stała tendencja szacowana w modelu SEStrend. Ponadto szacowana wartość 945 jest niemal identyczna z uzyskaną przez dopasowanie modelu SES do trendu lub bez, więc jest to prawie ten sam model. Teraz wyglądają jak rozsądne prognozy modelu, które ma oszacować trend lokalny Jeśli wygląda to na wykresie, wygląda na to, że lokalny trend spadł na koniec serii Co się stało Parametry tego modelu zostały oszacowane przez zminimalizowanie kwadratu błędów prognoz na jeden etap, a nie prognoz długoterminowych, w których to przypadku tendencja ta ma wiele różnic. Jeśli wszystko, na co patrzysz, to błędy z jednopodstawowym wyprzedzeniem, nie widzisz większego obrazu trendów w ciągu 10 lub 20 okresów (powiedzmy). Aby uzyskać ten model bardziej zgodny z naszą ekstrapolacją danych oczu, możemy ręcznie dostosować stałą wygładzania trendu, tak aby używała krótszej linii odniesienia dla szacowania tendencji. Na przykład, jeśli zdecydujemy się ustawić 946 0.1, średni wiek danych wykorzystywanych do oszacowania tendencji lokalnej to 10 okresów, co oznacza, że ​​uśrednimy tendencję w ciągu ostatnich 20 okresów. Here8217s jak wygląda prognoza wykresu, jeśli ustawimy 946 0.1 przy zachowaniu 945 0.3. To wydaje się intuicyjnie rozsądne w tej serii, chociaż najprawdopodobniej jest to niebezpieczne, aby wyliczyć tę tendencję w przyszłości o więcej niż 10 okresów. Co ze statystykami o błędach Oto porównanie modelu dwóch modeli przedstawionych powyżej oraz trzech modeli SES. Optymalna wartość 945 dla modelu SES wynosi około 0,3, ale uzyskuje się podobne wyniki (z nieco większą lub mniejszą reakcją) przy 0,5 i 0,2. (A) Holts liniowy exp. wygładzanie z alfa 0,3048 i beta 0,008 (B) liniowe liniowe exp. wygładzanie za pomocą alfa 0.3 i beta 0.1 (C) proste wyrównywanie wykładnicze z alfa 0.5 (D) proste wyrównywanie wykładnicze z alfa 0.3 (E) proste wyrównywanie wykładnicze z alfa 0.2 ich statystyka jest prawie identyczna, więc naprawdę możemy8217t dokonać wyboru na podstawie Błędy prognozy dotyczące etapu wyprzedzania w ramach próbki danych. Musimy pogodzić się z innymi względami. Jeśli uważamy, że sensowne jest oparcie bieżącej tendencji szacunkowej na to, co wydarzyło się w ciągu ostatnich 20 okresów, możemy zrobić przypadek modelu LES z 945 0,3 i 946 0,1. Jeśli chcemy być agnostyczni, czy istnieje tendencja lokalna, jeden z modeli SES może być łatwiejszy do wyjaśnienia, a także dałby więcej prognoz średniej wielkości na najbliższe 5 lub 10 okresów. (Powrót na początek strony.) Który typ tendencji - ekstrapolacja jest najlepsza: pozioma lub liniowa Dane empiryczne sugerują, że jeśli dane zostały już skorygowane (jeśli to konieczne) dla inflacji, może okazać się nieroztropne, aby ekstrapolować krótkoterminową liniową trendy bardzo daleko w przyszłość. Trendy widoczne dziś mogą się spowolnić w przyszłości ze względu na różne przyczyny, takie jak nieaktualność produktu, zwiększona konkurencja i cykliczne spowolnienie gospodarcze lub wzrost w przemyśle. Z tego powodu prosty wygładzanie wykładnicze często wykonuje lepszą próbę poza próbą niż oczekiwano inaczej, pomimo ekstrapolacji tendencji poziomej. Często w praktyce często stosuje się modyfikacje trendu tłumiącego liniowego modelu wygładzania wykładniczego, aby w praktyce wprowadzić do konserwacji swój zapis konserwatyzmu. Model "LES" z tendencjami tłumionymi może być realizowany jako szczególny przypadek modelu ARIMA, w szczególności modelu ARIMA (1,1,2). Możliwe jest obliczanie przedziałów ufności wokół prognoz długoterminowych wytworzonych przez wykładnicze modele wygładzania, biorąc pod uwagę je jako szczególne przypadki modeli ARIMA. (Uwaga: nie wszystkie programy obliczają prawidłowe przedziały ufności dla tych modeli.) Szerokość przedziałów ufności zależy od (i) błędu RMS modelu, (ii) rodzaju wygładzania (prostego lub liniowego) (iii) wartości (-ów) wygładzania (a) i (iv) liczbę prognozowanych okresów. Ogólnie rzecz biorąc, odstępy czasowe rozciągają się szybciej, gdy 945 staje się większe w modelu SES i rozciągają się znacznie szybciej, gdy stosuje się linearne, a nie proste wygładzanie. Ten temat jest omówiony w dalszej części sekcji ARIMA w uwagach. (Powrót na początek strony.)